①負担付遺贈
「遺贈」とは、遺言によって死後に財産を贈与すること、「負担付」とは、遺贈をするにあたり条件をつけることをいいます。ご自身の死後にペットのお世話をしてもらいたい場合は、遺言書において、特定の人に遺産を渡すこと、及び、その条件としてペットの面倒をみること、の2点を記載することが必要です。
遺贈を受けた人は、遺贈を受けとることで、ペットの世話をする義務が発生します。ただし、遺贈を受ける人は、遺贈を放棄することも可能なため、確実にペットのお世話をしてもらえる保証はないことにご注意ください。
②負担付死因贈与
「死因贈与」とは、死亡を条件とする贈与のことです。今回の場合は、ペットのお世話をすることを条件として、贈与者が死亡した場合に受贈者（贈与を受ける人）に遺産（全部または一部）を贈与するという契約を締結することになります。
贈与契約ということは、贈与者と受贈者双方の合意があるため、確実にペットのお世話をしてもらえるという点で安心かと思います。法律上、書面がなくても（口約束でも）契約は有効ですが、契約書を作成しておくことをお勧めします。
③信託
ペットの飼い主が委託者・受益者、ペットのお世話をしてくれる人が受託者となり、信託契約を締結します。飼い主の財産を信託財産として、受託者がこの財産を利用してペットのお世話をしていくことになります。また、飼い主死亡後の第二次受益者を予め決めることが可能ですので、飼い主が亡くなった後もペットのお世話をしてもらえます。