・公共料金の変更・解約
・免許証・パスポート・クレジットカードなどの返還や解約
・携帯電話の解約
・その他の名義変更及び解約
・相続放棄
・相続税の申告・納付

手続きの優先順位については置かれた環境や、家庭環境の状況によってさまざまだと思いますが、申告の期限があるものや、期限を過ぎると請求できなくなってしまうものから順に手続きを行ったほうがいいでしょう。

また、故人名義の公共料金の支払いなどについてはなるべく早く名義変更や解約を行ったほうがいいでしょう。

手続きをしないと料金がかかり続けてしまう可能性があります。
公共料金や免許証、携帯電話の解約などはご自身で手続きができますが、解約の際に亡くなったことが分かる戸籍などが必要になります。

戸籍の取り方が分からない場合や、忙しくて手続きできないといった場合は、法律事務所で代わりに手続きを行うことができます。

相続放棄に関しては亡くなったことを知った日から３ヵ月以内に裁判所に申立をしなければいけません。

相続放棄は被相続人の財産や債務の内容によって判断すると思いますが財産などを把握していない場合は、弁護士が相続人の代わりに財産調査を行うことができます。
全く把握していない場合は専門家に依頼した方が確実に財産を知ることができるでしょう。

相続税の申告・納付は亡くなってから１０ヵ月以内に申告書を作成し、相続税を納付すると決まっています。

まずは相続税の対象になるかどうかを確認した方がいいでしょう。
１０ヵ月あるからと後回しにしていたら忘れてしまうこともあるので、早めに税務署や税理士に相談しましょう。

期限を過ぎてしまいそうな場合は、未分割での申告もできるのでまずは税務署に相談しましょう。